矩阵分解是推荐系统的一种常用方法，其思想其实很简单。对于user-item 这个评分矩阵R，若用户和物品数量较多，其维度可能会非常大，我们可以将其分解为两个维度较小的矩阵，然后想办法用这两个小矩阵去“还原”原来的矩阵，使误差尽可能小。我们可以将R其分解为用户-特性矩阵，以及特性-物品矩阵。这样做的好处有两点： 
1. 得到了用户的偏好，以及物品的特性 
2. 降低了矩阵的维度。 

代码：

def matrix_factorization(R, P, Q, K, steps=10, alpha=0.0002, beta=0.02):
    Q = Q.T
    for step in range(steps):
        for i in range(len(R)):
            for j in range(len(R[i])):
                if R[i][j] > 0:
                    eij = R[i][j] - numpy.dot(P[i,:],Q[:,j])
                    for k in range(K):
                        P[i][k] = P[i][k] + alpha * (2 * eij * Q[k][j] - beta * P[i][k])
                        Q[k][j] = Q[k][j] + alpha * (2 * eij * P[i][k] - beta * Q[k][j])
        #eR = numpy.dot(P,Q)
        e = 0
        for i in range(len(R)):
            for j in range(len(R[i])):
                if R[i][j] > 0:
                    e = e + pow(R[i][j] - numpy.dot(P[i,:],Q[:,j]), 2)
                    for k in range(K):
                        e = e + (beta/2) * ( pow(P[i][k],2) + pow(Q[k][j],2) )
        if e < 0.001:
            break
    return P, Q


if __name__ == "__main__":
  
    R = [
         [1,0,0,0,0,0,0],
         [0,0,0,1,0,1,0],
         [1,1,0,0,0,0,0],
         [1,0,0,0,0,0,1],
         [0,1,0,0,0,1,0],
        ]
    R = numpy.array(R)
    N = len(R)
    M = len(R[0])
    K = 10
    P = numpy.random.rand(N,K)
    Q = numpy.random.rand(M,K)
    print('generate target matrix P and Q finished')
    nP, nQ = matrix_factorization(R, P, Q, K)
    print('matrix factorization finished!')
    print(R)
    T = numpy.dot(nP,nQ)
    rank = dict()
    for i in range(0, len(T)):
        b = np.argsort(-T[i], axis=1)
        for j in range(0, K):
            rank.setdefault(i, b[j])
    print(rank)